Was ist gauß algorithmus?

Gauß-Algorithmus (Gauß-Elimination)

Der Gauß-Algorithmus, auch Gauß-Elimination genannt, ist ein Verfahren aus der linearen Algebra zur Lösung von linearen Gleichungssystemen (LGS). Er dient außerdem zur Berechnung der Determinante einer Matrix und zur Invertierung einer Matrix. Das Ziel ist, das LGS in eine gestaffelte Zeilenstufenform zu bringen, von der aus die Lösungen direkt abgelesen oder einfach berechnet werden können.

Hauptanwendungsbereiche:

• Lösen linearer Gleichungssysteme: Der Algorithmus transformiert das LGS durch elementare Zeilenumformungen in eine Form, aus der die Lösungen direkt ermittelt werden können. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Lineares%20Gleichungssystem" target="_blank">Lineares Gleichungssystem</a>)
• Berechnung der Determinante: Die Determinante einer Matrix lässt sich leicht aus der Zeilenstufenform berechnen. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Determinante" target="_blank">Determinante</a>)
• Invertierung von Matrizen: Durch Anwendung des Gauß-Algorithmus auf eine erweiterte Matrix (A|I) kann die Inverse A⁻¹ der Matrix A gefunden werden. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Inverse%20Matrix" target="_blank">Inverse Matrix</a>)
• Bestimmung des Rangs einer Matrix: Der Rang einer Matrix entspricht der Anzahl der Nicht-Null-Zeilen in der Zeilenstufenform. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Rang%20einer%20Matrix" target="_blank">Rang einer Matrix</a>)

Vorgehensweise:

Der Gauß-Algorithmus besteht im Wesentlichen aus drei Schritten:

1. Vorwärtselimination: Durch elementare Zeilenumformungen wird die Matrix in Zeilenstufenform gebracht. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Zeilenstufenform" target="_blank">Zeilenstufenform</a>) Typische Operationen sind:

   • Vertauschen von Zeilen
   • Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar (ungleich Null)
   • Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile

2. Rückwärtssubstitution (optional): Um die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform (auch Normalform) zu bringen, werden die Einträge oberhalb der Hauptdiagonale ebenfalls eliminiert. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Reduzierte%20Zeilenstufenform" target="_blank">Reduzierte Zeilenstufenform</a>)

3. Lösung ermitteln: Aus der (reduzierten) Zeilenstufenform können die Lösungen des LGS direkt abgelesen oder durch einfaches Rückwärtsrechnen bestimmt werden.

Beispiel:

Betrachten wir das lineare Gleichungssystem:

2x + y = 5
x - y = 1

Dieses System kann in Matrixform dargestellt werden:

[2  1 | 5]
[1 -1 | 1]

Durch Anwenden des Gauß-Algorithmus (z.B. Zeile 2 - 1/2 * Zeile 1) kann man die Matrix in Zeilenstufenform bringen und anschließend die Lösungen für x und y bestimmen.

Wichtige Hinweise:

• Der Gauß-Algorithmus ist ein numerisches Verfahren. Rundungsfehler können insbesondere bei großen Matrizen zu Ungenauigkeiten führen.
• Die Pivotsuche (Vertauschen von Zeilen) ist wichtig, um die numerische Stabilität des Algorithmus zu gewährleisten. Ein Pivot ist das erste Nicht-Null-Element in einer Zeile, das verwendet wird, um die Elemente darunter zu eliminieren. (<a href="https://de.wikiwhat.page/kavramlar/Pivotisierung" target="_blank">Pivotisierung</a>)
• Der Algorithmus kann verwendet werden, um zu bestimmen, ob ein LGS eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung hat.